معادلهٔ حرارت

معادلهٔ حرارت (Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی است. در حالت یک‌بعدی و با زمان، این معادلهٔ کلاسیک به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

معادلهٔ حرارت (Heat equation) یک معادله دیفرانسیل پاره‌ای خطی است. در حالت یک‌بعدی و با زمان، این معادلهٔ کلاسیک به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

u_t = k u_{xx} ,

که در این‌جا،  u(x, t) !  دما به صورت یک‌بعدی، و k !  ضریب مثبت و ثابتی است، که میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می‌دهد.

معادلات دیفرانسیل سهموی:

معادلات دیفرانسیل سهموی به‌عنوان مدل‌های ریاضی حاکم بر فرایندهای پخش و نشر، یا به‌زبانی عمومی‌تر، فرایندهای برگشت‌ناپذیروابسته به‌زمان کاربردهای فراوان و متنوعی پیدا می‌کنند. ساده‌ترین نمونه از این‌گونه معادلات، معادلهٔ حرارت است.

جواب‌های بنیادین :

جواب بنیادین، به‌نتیجهٔ حل معادلهٔ حرارت، در قبال شرط اولیهٔ منبعی نقطه‌ای از گرما واقع در نقطهٔ مکانی معلوم اطلاق می‌شود. در حالت یک‌بعدی (x !) داریم:


begin{cases}
u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& -infty<x<infty,quad 0<t<infty
u(x,t=0)=delta(x)&
end{cases}

که در اینجا  delta ! همان تابع دلتای دیراک (به مفهوم بار حرارتی نقطه‌ای) است. حل این مسئله، همان جواب بنیادین را به‌دست خواهد داد:

Phi(x,t)=frac{1}{sqrt{4pi kt}}expleft(-frac{x^2}{4kt}right).

با در دست داشتن این جواب، همواره می‌توان حل معادله یک‌بعدی حرارت را به ازاء هر شرط اولیهٔ معلوم با کانولوشن به‌دست آورد:

u(x,t) = int Phi(x-y,t) g(y) dy.

پسندیدید؟

در خبرنامه ثبت نام کنید و اخبار جدید را در ایمیل خود دریافت کنید

نگران نباشید ما اسپم نیست

مدلسازی اطلاعات ساختمان

طراح و نظارت پروژه های تاسیسات مکانیکی به صورت BIM توسعه دهنده نرم افزار های آموزشی تاسیسات مکانیکی

دیدگاهتان را بنویسید

بررسی کنید

انرژی چیست؟

انرژی چیست؟ انـرژی باعث وقوع پدیدهـهای مختلـف در اطـراف ما می شود. در خلال روز ، خورشید رو…